(a)
\(T \vdash \bot \to \varphi\) なので \({\sf PA} \vdash \neg {\rm Con} \to {\rm Pr}(\varphi)\) であり，\({\sf PA} \vdash \neg {\rm Pr}(\varphi) \to {\rm Con}\) である． \(\varphi\) の取り方より \({\sf PA} \vdash
\varphi \to {\rm Con}\) となる．
Theorem 4(a) より \({\sf PA} \vdash {\rm Con} \to \varphi\) なので \({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow {\rm Con}\) を得る．
したがって \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\varphi) \leftrightarrow {\rm Pr}({\rm Con})\)，つまり \({\sf PA} \vdash \neg {\rm Pr}(\varphi) \leftrightarrow \neg {\rm Pr}({\rm Con})\) である． \(\varphi\) の取り方より \({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow \neg {\rm Pr}({\rm Con})\) となる． \({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow {\rm Con}\) なので \({\sf PA} \vdash {\rm Con} \leftrightarrow \neg {\rm Pr}({\rm Con})\) がいえた．
(b)
\({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow (\neg \varphi \to \varphi)\) であるが，\({\sf PA} \vdash \neg \varphi \leftrightarrow {\rm Pr}(\varphi)\) なので，\({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow ({\rm
Pr}(\varphi) \to \varphi)\) を得る． したがって \({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow \theta\) である． また \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\varphi) \leftrightarrow {\rm Pr}(\theta)\) なので，\({\sf PA} \vdash
\theta \leftrightarrow ({\rm Pr}(\theta) \to \varphi)\) が成り立つ．
(a) において \({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow {\rm Con}\) から \({\sf PA} \vdash {\rm Con} \leftrightarrow \neg {\rm Pr}({\rm Con})\) を導くのには \(T \vdash {\sf PA}\) がいる．
(b) では \(\varphi\) として \(\Pi_1\) Gödel 文をとったが，実は任意の文 \(\varphi\) についても成り立つ． 任意の \(\varphi\) に対して \(\theta : = {\rm Pr}(\varphi) \to \varphi\) と定めれば，\({\sf PA} \vdash \varphi \to \theta\) が明らかに成り立つために \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\varphi) \to {\rm Pr}(\theta)\) である． また p. 32 (L2) より \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\theta) \to {\rm Pr}(\varphi)\) なので，\({\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\varphi) \leftrightarrow {\rm Pr}(\theta)\) が成り立つ． よって
となる．