(a)
- \(T \vdash {\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi\) とする．\(\chi\) の取り方より \({\sf PA} \vdash \chi \to {\rm Pr}(\chi \to \varphi)\) なので \({\sf PA} \vdash \chi \rightarrow ({\rm Pr}(\chi)
\rightarrow {\rm Pr}(\varphi))\) である． \(\chi\) は \(\Sigma_1\) なので \({\sf PA} \vdash \chi \rightarrow {\rm Pr}(\chi)\) であるから \({\sf PA} \vdash \chi \to {\rm Pr}(\varphi)\) となる． 仮定より \begin{align*}
T \vdash \chi \rightarrow \varphi \tag{*} \end{align*} となるため，\({\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\chi \rightarrow \varphi)\) であり，つまり \(\chi\) のとり方から \({\sf PA} \vdash \chi\) である． \(T \vdash \chi\) なので (*)
より \(T \vdash \varphi\) を得る．
- 上記より \({\sf PA} \vdash \chi \rightarrow {\rm Pr}(\varphi)\) なので \(T \vdash \chi \rightarrow {\rm Pr}(\varphi)\)，よって \(T \vdash ({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow (\chi
\rightarrow \varphi)\) を得る． つまり \begin{align*} {\sf PA} \vdash {\rm Pr}({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow {\rm Pr}(\chi \rightarrow \varphi) \tag{**} \end{align*} となる． \(\chi\)
のとり方より \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow \chi\) であり，\({\sf PA} \vdash {\rm Pr}({\rm Pr}({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi)) \rightarrow {\rm
Pr}(\chi)\) となる． また \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow {\rm Pr}({\rm Pr}({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi))\) なので \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}({\rm
Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow {\rm Pr}(\chi)\) を得る． 一方 (**) より \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow ({\rm Pr}(\chi) \rightarrow {\rm
Pr}(\varphi))\) なので \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}({\rm Pr}(\varphi) \rightarrow \varphi) \rightarrow {\rm Pr}(\varphi)\) が得られた．
(b)
- (i) \({\sf PA} \vdash \theta \leftrightarrow ({\rm Pr}(\theta) \to \varphi)\) となる \(\theta\) をとり，\(\chi := {\rm Pr}(\theta)\) とする． このとき \({\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\theta) \leftrightarrow {\rm
Pr}({\rm Pr}(\theta) \to \varphi)\) なので \({\sf PA} \vdash \chi \leftrightarrow {\rm Pr}(\chi \to \varphi)\) である．
- (ii) この問題は成立しない（下記コメントを参照）．\(\theta\) の取り方を次のように変えれば成立する．
- \({\sf PA} \vdash \chi \leftrightarrow {\rm Pr}(\chi \to \varphi)\) となる \(\chi\) について \(\theta := \chi \to \varphi\) と定める． このとき \({\sf PA} \vdash (\chi \to \varphi) \leftrightarrow
({\rm Pr}(\chi \to \varphi) \to \varphi)\) なので \({\sf PA} \vdash \theta \leftrightarrow ({\rm Pr}(\theta) \to \varphi)\) となる．
- この \(\theta\) について \(\theta' := {\rm Pr}(\theta) \to (\theta)\) と定めると，\({\sf PA} \vdash \theta \to \theta'\) であり， \begin{align*} {\sf PA} \vdash \theta' & \leftrightarrow ({\rm
Pr}(\theta) \to \theta)\\ & \leftrightarrow {\rm Pr}(\chi \to \varphi) \to (\chi \to \varphi)\\ & \leftrightarrow \chi \to (\chi \to \varphi)\\ & \leftrightarrow \chi \to
\varphi\\ & \leftrightarrow \theta \end{align*} なので，\({\sf PA} \vdash \theta \leftrightarrow \theta'\) である． したがって \({\sf PA} \vdash \theta' \leftrightarrow ({\rm Pr}(\theta') \to
\varphi)\) も成り立つ．
コメント
(a) の \(\theta\) は \(\chi\) の誤植だと思われる．
(b) について，\(T \nvdash \varphi\) となる \(\varphi\) を考えれば，次のようにして (b) が成立しないことが示せる． \({\sf PA} \vdash \chi \leftrightarrow {\rm Pr}(\chi \to \varphi)\) となる \(\chi\) について \(\theta := {\rm Pr}(\chi) \to
\chi\) と定め， \[ {\sf PA} \vdash \theta \leftrightarrow ({\rm Pr}(\theta) \to \varphi) \] が成り立つと仮定する． \({\sf PA} \vdash \chi \to \theta\) なので \({\sf PA} \vdash \chi \to ({\rm Pr}(\theta) \to
\varphi)\) となる． また \(\chi\) は \(\Sigma_1\) なので \({\sf PA} \vdash \chi \to {\rm Pr}(\chi)\) であり，更に \({\sf PA} \vdash \chi \to {\rm Pr}({\rm Pr}(\chi) \to \chi)\)，つまり \({\sf PA} \vdash \chi \to
{\rm Pr}(\theta)\) なので \({\sf PA} \vdash \chi \to \varphi\) である． したがって \begin{align*} {\sf PA} \vdash {\rm Pr}(\varphi) & \to {\rm Pr}(\chi \to \varphi)\\ & \to \chi \\ & \to \varphi
\end{align*} となるため，Theorem 6 より \(T \vdash \varphi\) となりおかしい．