2.17

(a)
Theorem 7 より \(\tau^*(x)\) は \(T\) において \(T\) を binumerate する．

• \(T \vdash \psi\) と仮定すると，\(T \vdash {\rm Pr}_{\tau^*}(\psi)\) であり，\(\psi\) の取り方より \(T \vdash \neg \psi\) となるため矛盾する． したがって \(T \nvdash \psi\) である．
• \(T \vdash \neg \psi\) と仮定すると \(T \vdash {\rm Pr}_{\tau^*}(\neg \psi)\) である． また \(\psi\) の取り方より \(T \vdash {\rm Pr}_{\tau^*}(\psi)\) なので \(T \vdash \neg {\rm Con}_{\tau^*}\) がいえる． Theorem 7 より \(T \vdash {\rm Con}_{\tau^*}\) なのでおかしい． したがって \(T \nvdash \neg \psi\) である．

(b)

となる \(\varphi\) をとる．

• \(\neg \varphi\) は \(\Sigma_1\) 文なので \(T \vdash \neg \varphi \to {\rm Pr}_{\tau^*}(\neg \varphi)\) であるから，\(T \vdash \neg \varphi \land {\rm Pr}_{\tau^*}(\varphi) \to \neg {\rm Con}_{\tau^*}\) である． Theorem 7 より \(T \vdash {\rm Con}_{\tau^*}\) なので，\(T \vdash \neg \varphi \to \neg {\rm Pr}_{\tau^*}(\varphi)\) が成り立つ． よって \(\varphi\) の取り方より \(T \vdash {\rm Pr}_\tau(\varphi) \to \neg {\rm Pr}_{\tau^*}(\varphi)\) となる．
• 一方 \(T \vdash \tau^*(x) \to \tau(x)\) なので \(T \vdash {\rm Pr}_{\tau^*}(\varphi) \to {\rm Pr}_\tau(\varphi)\)，つまり \(T \vdash \neg {\rm Pr}_{\tau}(\varphi) \to \neg {\rm Pr}_{\tau^*}(\varphi)\) となる．

以上より \(T \vdash \neg {\rm Pr}_{\tau^*}(\varphi)\) となることが分かった． Theorem 4(a) より \(T \vdash {\rm Con}_\tau \to \varphi\) なので，\(T \vdash \neg {\rm Pr}_{\tau^*}(\varphi) \to \neg {\rm Pr}_{\tau^*}({\rm Con}_\tau)\) である． したがって \(T \vdash \neg {\rm Pr}_{\tau^*}({\rm Con}_\tau)\)，つまり \(T \vdash {\rm Con}_{\tau^* + \neg {\rm Con}_\tau}\) が成り立つ．