(a)
\(T \vdash {\rm Pr}_S(\bot) \to \sigma\) となる \(\Sigma_1\) 文 \(\sigma\) をとる． \(\sigma = \exists y \delta(y)\) となる PR 論理式 \(\delta(x)\) について \[ {\sf PA} \vdash \chi \leftrightarrow \exists
y(\delta(y) \land \forall z \leq y \neg {\rm Prf}_S(\chi, z)) \] を満たす \(\Sigma_1\) 文 \(\chi\) をとる． また \(\Sigma_1\) 文 \(\chi^*\) を \(\exists z({\rm Prf}_S(\chi, z) \land \forall y < z \neg
\delta(y))\) と定める．
- \(\chi\) の取り方より \[ T \vdash \sigma \land \neg {\rm Pr}_S(\chi) \to \chi \] である． \(\chi\) は \(\Sigma_1\) なので \({\sf PA} \vdash \chi \to {\rm Pr}_S(\chi)\) であるから \[ T \vdash \sigma \land \neg
{\rm Pr}_S(\chi) \to {\rm Pr}_S(\chi) \] となる． したがって \(T \vdash \sigma \to {\rm Pr}_S(\chi)\) が得られる．
- \(\chi^*\) の取り方より \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma \to \chi^* \] である． ここで \(\chi^*\) は \(\Sigma_1\) なので \(T \vdash \chi \to {\rm Pr}_S(\chi^*)\) となる． また Lemma 1.3(i) より \(S
\vdash \chi^* \to \neg \chi\) なので \(T \vdash {\rm Pr}_S(\chi^*) \to {\rm Pr}_S(\neg \chi)\) である． よって \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma \to {\rm Pr}_S(\neg \chi) \] なので \[ T \vdash
{\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma \to {\rm Pr}_S(\bot) \] が成り立つ． 仮定より \(T \vdash {\rm Pr}_S(\bot) \to \sigma\) なので \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma \to \sigma \] となるため，\(T \vdash
{\rm Pr}_S(\chi) \to \sigma\) が得られた．
- (i) \(T \vdash {\rm Pr}_S(\bot) \to {\rm Pr}_S(\varphi)\) なので，上で示したことからある \(\Sigma_1\) 文 \(\chi\) が存在して \(T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \leftrightarrow {\rm Pr}_S(\varphi)\) となる．
- (ii) \(T \vdash {\rm Pr}_S(\bot) \to {\rm Pr}_S(\varphi) \lor {\rm Pr}_S(\psi)\) なので，上で示したことからある \(\Sigma_1\) 文 \(\chi\) が存在して \(T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \leftrightarrow {\rm Pr}_S(\varphi)
\lor {\rm Pr}_S(\psi)\) となる．
- (iii) \(T \vdash \pi \to {\rm Con}_S\) となる \(\Pi_1\) 文 \(\pi\) をとれば，\(T \vdash {\rm Pr}_S(\bot) \to \neg \pi\) で \(\neg \pi\) は \(\Sigma_1\) なので，上で示したことより \(T \vdash {\rm Pr}_S(\chi)
\leftrightarrow \neg \pi\) となる \(\Sigma_1\) 文 \(\chi\) がとれる． このとき \(T \vdash \pi \leftrightarrow \neg {\rm Pr}_S(\chi)\) なので，\(\Pi_1\) 文 \(\theta\) を \(\neg \chi\) とすると，\(T \vdash \pi
\leftrightarrow {\rm Con}_{S + \theta}\) がいえる．
(b)
\((\Rightarrow)\): \(T \vdash \sigma_0 \land \sigma_1 \leftrightarrow {\rm Pr}_S(\bot)\) とする． \(\sigma_0 = \exists y \delta_0(y)\), \(\sigma_1 = \exists y \delta_1(y)\) となる PR 論理式 \(\delta_0(y),
\delta_1(y)\) をとり， \[ T \vdash \chi \leftrightarrow \exists y ((\delta_0(y) \lor {\rm Prf}_S(\neg \chi, y)) \land \forall z \leq y (\neg \delta_1(z) \land \neg {\rm Prf}_S(\chi, z))) \] を満たす
\(\Sigma_1\) 文 \(\chi\) をとる． また \(\Sigma_1\) 文 \(\chi^*\) を \[ \chi^* = \exists z ((\delta_1(z) \lor {\rm Prf}_S(\chi, z)) \land \forall y < z (\neg \delta_0(y) \land \neg {\rm Prf}_S(\neg
\chi, y))) \] と定める．
- \(\chi\) の取り方より \[ T \vdash \sigma_0 \land \neg \sigma_1 \land \neg {\rm Pr}_S(\chi) \to \chi \] である． \(\chi\) は \(\Sigma_1\) なので \(T \vdash \chi \to {\rm Pr}_S(\chi)\) だから \[ T \vdash
\sigma_0 \land \neg \sigma_1 \land \neg {\rm Pr}_S(\chi) \to {\rm Pr}_S(\chi) \] となるため \[ T \vdash \sigma_0 \land \neg \sigma_1 \to {\rm Pr}_S(\chi) \] である． 一方 \(T \vdash \sigma_0 \land \sigma_1
\to {\rm Pr}_S(\bot)\) なので \[ T \vdash \sigma_0 \land \sigma_1 \to {\rm Pr}_S(\chi) \] がいえる． 以上より \(T \vdash \sigma_0 \to {\rm Pr}_S(\chi)\) が成り立つ．
- \(\chi^*\) の定め方より \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma_0 \land \neg {\rm Pr}_S(\neg \chi) \to \chi^* \] である． ここで \(\chi^*\) は \(\Sigma_1\) なので \(T \vdash \chi \to {\rm
Pr}_S(\chi^*)\) となる． また Lemma 1.3(i) より \(S \vdash \chi^* \to \neg \chi\) なので \(T \vdash {\rm Pr}_S(\chi^*) \to {\rm Pr}_S(\neg \chi)\) である． よって \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma_0
\land \neg {\rm Pr}_S(\neg \chi) \to {\rm Pr}_S(\neg \chi) \] だから \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma_0 \to {\rm Pr}_S(\neg \chi) \] つまり \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg
\sigma_0 \to {\rm Pr}_S(\bot) \] が得られた． 仮定より \(T \vdash {\rm Pr}_S(\bot) \to \sigma_0\) なので \[ T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \land \neg \sigma_0 \to \sigma_0 \] なので \(T \vdash {\rm Pr}_S(\chi) \to
\sigma_0\) が示せた．
- \(\chi^*\) の定め方などから \begin{align*} T \vdash \sigma_1 \land \neg \sigma_0 \land \neg {\rm Pr}_S(\neg \chi) & \to \chi^*\\ & \to {\rm Pr}_S(\chi^*)\\ & \to {\rm Pr}_S(\neg \chi)
\end{align*} なので \[ T \vdash \sigma_1 \land \neg \sigma_0 \to {\rm Pr}_S(\neg \chi) \] となる． 一方 \begin{align*} T \vdash \sigma_1 \land \sigma_0 & \to {\rm Pr}_S(\bot)\\ & \to {\rm
Pr}_S(\neg \chi) \end{align*} なので \(T \vdash \sigma_1 \to {\rm Pr}_S(\neg \chi)\) となる．
- \(\chi\) の取り方などから \begin{align*} T \vdash {\rm Pr}_S(\neg \chi) \land \neg \sigma_1 \land \neg {\rm Pr}_S(\chi) & \to \chi\\ & \to {\rm Pr}_S(\chi) \end{align*} なので \begin{align*} T
\vdash {\rm Pr}_S(\neg \chi) \land \neg \sigma_1 & \to {\rm Pr}_S(\chi)\\ & \to {\rm Pr}_S(\bot)\\ & \to \sigma_1 \end{align*} となり，\(T \vdash {\rm Pr}_S(\neg \chi) \to \sigma_1\)
がいえた．
\((\Leftarrow)\): \(T \vdash \sigma_0 \leftrightarrow {\rm Pr}_S(\chi)\) かつ \(T \vdash \sigma_1 \leftrightarrow {\rm Pr}_S(\neg \chi)\) となる文 \(\chi\) が取れたとすると，このとき \begin{align*} T \vdash
\sigma_0 \land \sigma_1 & \leftrightarrow {\rm Pr}_S(\chi) \land {\rm Pr}_S(\neg \chi)\\ & \leftrightarrow {\rm Pr}_S(\bot) \end{align*} が成り立つ．