2.11

条件を満たす論理式 \(\alpha(x)\) がとれたとして \(T\) が矛盾することを示す．任意の \(\varphi\) に対して \({\sf Q} \vdash \nu(\varphi, y) \leftrightarrow y = (\bigwedge {\sf Q} \rightarrow \varphi)\)，となるような論理式 \(\nu(x,y)\) をとる．

\(\begin{eqnarray*} {\sf Q} \vdash \varphi \leftrightarrow \exists y(\nu (\varphi, y) \land \neg \alpha(y) ) \end{eqnarray*} \)

を満たす文 \(\varphi\) をとれば，\(\nu(x,y)\) のとり方より

\({\sf Q} \vdash \varphi \leftrightarrow \neg \alpha(\bigwedge {\sf Q} \rightarrow \varphi)\)

となる．

いま \(\theta : = (\bigwedge {\sf Q} \rightarrow \varphi)\) とすると \({\sf Q} \vdash \varphi \leftrightarrow \neg \alpha(\theta)\) である．よって \({\sf Q} \vdash \neg \alpha(\theta) \rightarrow \varphi\) なので，\(\vdash \neg \alpha(\theta) \to \left(\bigwedge {\sf Q} \to \varphi \right)\) となる．よって \(\vdash (\alpha(\theta) \rightarrow \theta) \rightarrow \theta\) がいえる．

(i) \(T \vdash \alpha(\theta) \rightarrow \theta\) より \(T \vdash \theta\) つまり \(T \vdash \bigwedge {\sf Q} \rightarrow \varphi\). \(T\) は \({\sf Q}\) の拡大なので \(T \vdash \varphi\)．
(iii) より \(T \vdash \alpha((\alpha(\theta) \rightarrow \theta) \rightarrow \theta)\) である． (ii) \(T \vdash \alpha(\alpha(\theta) \rightarrow \theta)\) と合わせれば (iv) より \(T \vdash \alpha(\theta)\) が分かる．つまり \(T \vdash \neg \varphi\) となる．

よって \(T\) は矛盾するためおかしい．条件を満たす論理式 \(\alpha(x)\) は存在しない．