(a)
\(T \vdash {\rm Con} \to \neg {\rm Pr}_T(\neg \varphi)\) と仮定すると \(T \vdash {\rm Pr}_T(\neg \varphi) \to \neg {\rm Con}\) である．
\(T \vdash \bot \to \varphi\) なので \(T \vdash \neg {\rm Con} \to {\rm Pr}_T(\varphi)\) であり，\(\varphi\) の取り方より \(T \vdash \neg {\rm Con} \to \neg \varphi\) である．
以上より \(T \vdash {\rm Pr}_T(\neg \varphi) \to \neg \varphi\) となる． Theorem 6 より \(T \vdash \neg \varphi\) がいえる． \(T\) は \(\Sigma_1\)-健全なのでこれは Theorem 1 に反する． したがって \(T \nvdash {\rm Con} \to \neg
{\rm Pr}_T(\neg \varphi)\) である．
(b)
- \(T \vdash \theta \rightarrow {\rm Con}\) とすると，Corollary 3 より \(T \vdash {\rm Con} \rightarrow {\rm Con}_{T+\theta}\) なので \(T + \theta \vdash {\rm Con}_{T+\theta}\) となる．しかし Theorem 2 より \(T +
\theta\) は無矛盾であるため Theorem 4 に反する．したがって \(T \nvdash \theta \rightarrow {\rm Con}\) である．
- \(T \vdash \psi \rightarrow {\rm Con}\) であると仮定する．Lemma 1.3(i) より \(T \vdash \neg \theta \rightarrow \psi\) であるから，\(T \vdash \neg \theta \rightarrow {\rm Con}\)．Corollary 3 より \(T \vdash {\rm
Con} \rightarrow {\rm Con}_{T+ \neg \theta}\) なので上記と同様に矛盾する．したがって \(T \nvdash \psi \rightarrow {\rm Con}\) である．
- Lemma 1.3(iii) より \({\sf PA} \vdash \theta \land \psi \to \neg {\rm Pr}_T(\theta)\) である．(a) と同様にして \({\sf PA} \vdash \neg {\rm Con} \to {\rm Pr}_T(\theta)\) がいえるので，\({\sf PA} \vdash \theta
\land \psi \rightarrow {\rm Con}\) となる．
これらから \(T \nvdash \psi\) が導かれるのは明らか．