\(\tau(x)\) を \(T\) の PR binumeration とする． \(X\) は r.e. なので \(X = \{k : \exists m\ T \vdash \rho(k, m)\}\) となる PR 論理式 \(\rho(x, y)\) がとれる．
となる PR 論理式 \(\tau^*(x)\) をとる．
いま \(\neg {\rm Con}_{\tau^*} \in X\) と仮定すると，ある \(m\) があって \(T \vdash \rho(\neg {\rm Con}_{\tau^*}, m)\) である． \(T \vdash \forall z \leq x \neg \rho(\neg {\rm Con}_{\tau^*}, z) \to x \leq m\) なので \(T \vdash \tau^*(x) \to \tau(x) \land x \leq m\) である． したがって Chapter 1 Fact 6 より \(T \vdash {\rm Con}_{\tau|m} \to {\rm Con}_{\tau^*}\) である． \(T\) は reflexive なので \(T \vdash {\rm Con}_{\tau|m}\) であるから，\(T \vdash {\rm Con}_{\tau^*}\) となる． これは \(X\) が monoconsistent with \(T\) であることに反する． したがって \(\neg {\rm Con}_{\tau^*} \notin X\) である．
上で示したことから，任意の \(k\) について \(T \vdash \forall z \leq k \neg \rho(\neg {\rm Con}_{\tau^*}, z)\) となる．
よって \(\tau^*(x)\) は \(T\) の PR binumeration である．