(a)
\(\tau(x) : = \tau_0(x) \lor \exists y \leq x {\rm Prf}_{\tau_1}(\bot, y)\) とする．
- \(\varphi \in T\) ならば \(T \vdash \tau_0(\varphi)\) なので \(T \vdash \tau(\varphi)\) である．
- \(\varphi \notin T\) ならば \(T \vdash \neg \tau_0(\varphi) \land \forall y \leq \varphi \neg {\rm Prf}_{\tau_1}(\bot, y)\) なので \(T \vdash \neg \tau(\varphi)\) である．
以上より \(\tau(x)\) は \(T\) の PR binumeration である．
- \(T \vdash \tau_0(x) \to \tau(x)\) より \(T \vdash {\rm Con}_\tau \to {\rm Con}_{\tau_0}\) である．
- \begin{align*} T \vdash \neg {\rm Con}_{\tau_1} & \to \exists y {\rm Prf}_{\tau_1}(\bot, y)\\ & \to \exists z \forall x \geq z \exists y \leq x {\rm Prf}_{\tau_1}(\bot, y)\\ & \to
\exists z \forall x \geq z \tau(x)\\ & \to \neg {\rm Con}_{\tau} \end{align*} なので \(T \vdash {\rm Con}_\tau \to {\rm Con}_{\tau_1}\) である．
- \(T \vdash {\rm Con}_{\tau_1} \land \tau(x) \to \tau_0(x)\) なので，\(T \vdash {\rm Con}_{\tau_1} \land {\rm Con}_{\tau_0} \to {\rm Con}_\tau\) となる．
以上より \(T \vdash {\rm Con}_{\tau_0} \land {\rm Con}_{\tau_1} \leftrightarrow {\rm Con}_\tau\) がいえた．
(b)
\(\tau(x) : = (\tau_0(x) \land \tau_1(x)) \lor (\exists y \leq x {\rm Prf}_{\tau_0}(\bot, y) \land \exists y \leq x {\rm Prf}_{\tau_1}(\bot, y))\) とする．
- \(\varphi \in T\) ならば \(T \vdash \tau_0(\varphi) \land \tau_1(\varphi)\) なので \(T \vdash \tau(\varphi)\) である．
- \(\varphi \notin T\) ならば \(T \vdash \neg \tau_0(\varphi) \land \forall y \leq \varphi \neg {\rm Prf}_{\tau_0}(\bot, y)\) なので \(T \vdash \neg \tau(\varphi)\) である．
以上より \(\tau(x)\) は \(T\) の PR binumeration である．
- \(T \vdash {\rm Con}_{\tau_0} \land \tau(x) \to \tau_0(x)\) より \(T \vdash {\rm Con}_{\tau_0} \land {\rm Con}_{\tau_0} \to {\rm Con}_\tau\) であり，\(T \vdash {\rm Con}_{\tau_0} \to {\rm
Con}_\tau\) となる．
- 同様に \(T \vdash {\rm Con}_{\tau_1} \land \tau(x) \to \tau_1(x)\) より \(T \vdash {\rm Con}_{\tau_1} \to {\rm Con}_\tau\) がいえる．
- \begin{align*} T \vdash \neg {\rm Con}_{\tau_0} \land \neg {\rm Con}_{\tau_1} & \to \exists y {\rm Prf}_{\tau_0}(\bot, y) \land \exists y' {\rm Prf}_{\tau_1}(\bot, y')\\ & \to \exists
z \forall x \geq z (\exists y \leq z {\rm Prf}_{\tau_0}(\bot, y) \land \exists y' \leq z {\rm Prf}_{\tau_1}(\bot, y'))\\ & \to \exists z \forall x \geq z \tau(x)\\ & \to \neg {\rm
Con}_\tau \end{align*} なので \(T \vdash {\rm Con}_\tau \to {\rm Con}_{\tau_0} \lor {\rm Con}_{\tau_1}\) が成り立つ．
(c)
\(T \nvdash \varphi\) とする． \(\tau'(x)\) を \(T\) の PR binumeration とし， \[ T \vdash \tau(x) \leftrightarrow \tau'(x) \land \forall y \leq x \neg {\rm Prf}_T({\rm Con}_\tau \to \varphi, y) \] となる PR
論理式 \(\tau(x)\) をとる．
\(T \vdash {\rm Con}_\tau \to \varphi\) を仮定する． \(p\) を \(T\) における \({\rm Con}_\tau \to \varphi\) の証明とすると， \[ T \vdash \forall y \leq x \neg {\rm Prf}_T({\rm Con}_\tau \to \varphi, y) \to x \leq p
\] なので \(T \vdash \tau(x) \to \tau'(x) \land x \leq p\) となる． よって \(T \vdash {\rm Con}_{\tau'|p} \to {\rm Con}_\tau\) がいえる． Corollary 1.9(a) より \(T \vdash {\rm Con}_{\tau'|p}\) なので \(T \vdash {\rm
Con}_\tau\) となる． これと仮定より \(T \vdash \varphi\) となるため矛盾する． したがって \(T \nvdash {\rm Con}_\tau \to \varphi\) である．
- \(\varphi \in T\) ならば \(T \vdash \tau'(\varphi) \land \forall y \leq \varphi \neg {\rm Prf}_T({\rm Con}_\tau \to \varphi, y)\) なので \(T \vdash \tau(\varphi)\) である．
- \(\varphi \notin T\) ならば \(T \vdash \neg \tau'(\varphi)\) なので \(T \vdash \neg \tau(\varphi)\) である．
よって \(\tau(x)\) は \(T\) の PR binumeration である．
(d)
\(T \nvdash \varphi\) かつ \(T \nvdash \neg \psi\) とする． \(T \nvdash \varphi\) なので (c) より \(T \nvdash {\rm Con}_{\tau'} \to \varphi\) となる \(T\) の PR binumeration \(\tau'(x)\) が存在する． いま \(T + {\rm
Con}_{\tau'} + \neg \varphi\) と \(T + \psi\) はともに無矛盾である． \[ X : = \{\chi : T + {\rm Con}_{\tau'} + \neg \varphi \vdash \chi\ \text{または}\ T + \psi \vdash \chi\} \] とすれば \(X\) は monoconsistent with
\({\sf Q}\) である r.e. 集合となる． Lemma 2.1 より，ある \(\Pi_1\) 文 \(\theta\) が存在して，\(\theta \notin X\) かつ \(\neg \theta \notin X\) となる． ここで \(\Sigma_1\) 文 \(\neg \theta\) が true とすれば，\(T \vdash \neg
\theta\) なので \(T + {\rm Con}_{\tau'} + \neg \varphi \vdash \neg \theta\) となるため \(\neg \theta \in X\) となるためおかしい． したがって \(\theta\) は true な \(\Pi_1\) 文である． いま \(\xi : = \theta \land {\rm
Con}_{\tau'}\) とすると，\(\xi\) も true な \(\Pi_1\) 文である． \(T \vdash \xi \to {\rm Con}_{\tau'}\) なので Theorem 2.8(b) より \(T \vdash \xi \leftrightarrow {\rm Con}_{\tau}\) を満たす \(T\) の PR binumeration
\(\tau(x)\) がとれる．
- \(T \vdash {\rm Con}_\tau \to \varphi\) と仮定すると，\(T \vdash \theta \land {\rm Con}_{\tau'} \to \varphi\) なので \(T + {\rm Con}_{\tau'} + \neg \varphi \vdash \neg \theta\) となり，\(\neg \theta \in
X\) となるためおかしい． よって \(T \nvdash {\rm Con}_\tau \to \varphi\) である．
- \(T \vdash \psi \to {\rm Con}_\tau\) と仮定すると，\(T \vdash \psi \to \theta \land {\rm Con}_{\tau'}\) なので \(T + \psi \vdash \theta\) となり，\(\theta \in X\) となるためおかしい． したがって \(T \nvdash \psi \to {\rm
Con}_\tau\) である．