(i) \(\Rightarrow\) (ii): \(T \vdash \sigma_0 \lor \sigma_1\) とすると，\(\sigma_0 \lor \sigma_1\) は \(\Sigma_1\) なので (i) より \(\sigma_0 \lor \sigma_1\) は true である． よって \(\sigma_0\) もしくは \(\sigma_1\) の少なくとも一方は true である． \(\Sigma_1\)-完全性より \(T \vdash \sigma_0\) または \(T \vdash \sigma_1\) である．
(ii) \(\Rightarrow\) (iii): \(\Sigma_1\) 文 \(\sigma\) が \(\Delta_1^T\) である，つまり \(T \vdash \sigma \leftrightarrow \pi\) となる \(\Pi_1\) 文 \(\pi\) がとれたとする． いま \(T \vdash \sigma \lor \neg \sigma\) なので \(T \vdash \sigma \lor \neg \pi\) である． (ii) より \(T \vdash \sigma\) または \(T \vdash \neg \pi\) なので，\(T \vdash \sigma\) または \(T \vdash \neg \sigma\) となる．
(i) \(\Rightarrow\) (iv):
[(iii) or (iv)] \(\Rightarrow\) (i): 対偶を示す． \(T\) が \(\Sigma_1\)-健全でないとする．このとき \(T \vdash \varphi\) であるが \(\neg \varphi\) が true となる \(\Sigma_1\) 文 \(\varphi\) がとれる． \(\varphi = \exists x \delta(x)\) となる PR 論理式 \(\delta(x)\) がとれるとしてよい． \[ {\sf Q} \vdash \sigma \leftrightarrow \exists x (({\rm Prf}(\neg \sigma, x) \lor \delta(x)) \land \forall y \leq x \neg {\rm Prf}(\sigma, y)) \] となる \(\Sigma_1\) 文 \(\sigma\) をとり，\(\Sigma_1\) 文 \(\chi\) を \[ \chi : = \exists y ({\rm Prf}(\sigma, y) \land \forall x < y (\neg {\rm Prf}(\neg \sigma, x) \land \neg \delta(x))) \] と定める． Lemma 1.3 より \(T \vdash \neg \sigma \lor \neg \chi\) かつ \(T \vdash \varphi \to \sigma \lor \chi\) である． \(T \vdash \varphi\) なので \(T \vdash \sigma \lor \chi\) となるため，\(T \vdash \sigma \leftrightarrow \neg \chi\) である． したがって \(\sigma\) は \(\Delta_1^T\) である．
\(\Delta_1^T\) 文 \(\sigma\) について \(T \nvdash \sigma\) かつ \(T \nvdash \neg \sigma\) なので (iii) ではないことがいえた． また \(T \vdash {\rm Pr}(\sigma)\) かつ \(T \nvdash \sigma\) なので (iv) ではないことも示せた．