(a)
\({\rm Tr}_\Gamma(x)\) が \(\Gamma^{d,T}\) である，つまり \(T \vdash \forall x(\gamma(x) \leftrightarrow \neg {\rm Tr}_\Gamma(x))\) となる \(\Gamma\) 論理式 \(\gamma(x)\) がとれると仮定する．
を満たす \(\Gamma\) 文 \(\varphi\) をとれば，Chapter 1 Fact 10(a)(ii) より \({\sf PA} \vdash \varphi \leftrightarrow {\rm Tr}_\Gamma(\varphi)\) なので \(T \vdash \gamma(\varphi) \leftrightarrow \neg \gamma(\varphi)\) となり \(T\) は矛盾する． よって \({\rm Tr}_\Gamma(x)\) は \(\Gamma^{d,T}\) でない．
(b)
\(\Delta_{n+1}\) 論理式 \({\rm Tr}_{B_n}(x)\) が \(B_n^T\) である，つまり \(T \vdash \forall x(\eta(x) \leftrightarrow {\rm Tr}_{B_n}(x))\) となる \(B_n\) 論理式 \(\eta(x)\) が存在すると仮定する．
を満たす \(B_n\) 文 \(\varphi\) をとれば，Chapter 1 Fact 10 (b)(iv) より \(T \vdash \varphi \leftrightarrow {\rm Tr}_{B_n}(\varphi)\) なので \(T \vdash \eta(\varphi) \leftrightarrow \neg \eta(\varphi)\) となり \(T\) は矛盾する． よって \({\rm Tr}_{B_n}(x)\) は \(B_n^T\) でない \(\Delta_{n+1}\) 論理式である．