Theorem 1' より，\(T_1\) において \(X\) を correctly numerate する \(\Sigma_1\) 論理式 \(\xi(x)\) がとれる． このとき \[ T_1 \vdash \xi(n) \iff n \in X \] である． また \begin{align*} T_0 \vdash \xi(n) & \Rightarrow T_1 \vdash \xi(n) \\ & \Rightarrow \xi(n)\ \text{は true}\\ & \Rightarrow T_0 \vdash \xi(n) \end{align*} なので \[ T_0 \vdash \xi(n) \iff T_1 \vdash \xi(n) \] となるため， \[ T_0 \vdash \xi(n) \iff n \in X \] も成り立つ．
この結果は次のように拡張できる．
\({\sf Q} \dashv T_0 \dashv \cdots \dashv T_n\) とすると，各 r.e. 集合 \(X\) に対して，全ての \(T_i\) において \(X\) を numerate する \(\Sigma_1\) 論理式 \(\xi(x)\) が存在する．
\(\because\)
\(T_n\) において \(X\) を correctly numerate する \(\Sigma_1\) 論理式 \(\xi(x)\) をとる． このとき \[ k \in X \iff T_n \vdash \xi(k) \] である． また各 \(i < n\) について \begin{align*} T_i \vdash \xi(k) & \Rightarrow T_n \vdash \xi(k) \\ & \Rightarrow \xi(k)\ \text{は true}\\ & \Rightarrow T_i \vdash \xi(k) \end{align*} なので \[ T_i \vdash \xi(k) \iff T_n \vdash \xi(k) \] となるため， \[ T_i \vdash \xi(k) \iff k \in X \] も成り立つ． よって \(\xi(x)\) は全ての \(T_i\) において \(X\) を numerate する．